\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Cho x, y, z là ccs số thực thỏa mãn: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{4}{x+y+z}\). Chứng minh rằng \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)
Help me!!
Cho x,y,z > 0 . Chứng minh rằng \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)≥3
Cho các số x, y, z dương. CMR:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\)\(\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
a) CMR: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)>=9\) với mọi x, y, z >0
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z <= 3
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}>=670\)
cho x,y,z >0 thỏa mãn x ≥ z. Cmr:
\(\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\ge\frac{5}{2}\)
Cho \(a,b,c\ne0\) và \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\). Chứng minh rằng x = y = z = 0
chứng minh đẳng thức sau
a,\(\frac{x^2+3xy}{x^2-9y^2}+\frac{2x^2-5xy-3y^2}{6xy-x^2-9y^2}=\frac{x^2+xz+xy+yz}{3yz-x^2-xz+3xy}\)
b,\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\)
Cho \(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0;x\ne y,y\ne z,z\ne x\)
Tính Q=\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}\)
1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng:
\(a^2x+b^2y+c^2z=0\)
b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)
2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\) và \(\frac{a_2}{a_1}+\frac{b_2}{b_1}+\frac{c_2}{c_1}=1\)
cmr \(\frac{a\frac{2}{2}}{a\frac{2}{1}}+\frac{b\frac{2}{2}}{b\frac{2}{1}}+\frac{c\frac{2}{2}}{c\frac{2}{1}}=1\)
3. a, biết x,y,z khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). tính gt bt
M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
b, biết x,y,z khác 0 và x+y+z=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). cmr
y(\(x^2-yz\))\(\left(1-xz\right)=x\left(1-yz\right)\left(y^2-xz\right)\)
4. cho x,y,z khác 0 và \(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\)
chứng minh rằng trong 3 phân thức đã cho có 1 phân thức bằng -1 và hai phân thức còn lại đều bằng 1
