Câu hỏi của cao minh thành

Question

cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x^3 +y^3 = x^5 +y^5. Chứng minh x^2 +y^2 <= 1+xy

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$2x^3+2y^3=x^3+x^5+y^3+y^5\ge2x^4+2y^4$

$\Rightarrow x^3+y^3\ge x^4+y^4\Rightarrow x^2+y^2+x^3+y^3\ge x^4+x^2+y^4+y^2\ge2x^3+2y^3$

$\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\Rightarrow x+y+x^2+y^2\ge x+x^3+y+y^3\ge2x^2+2y^2$

$\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2$

$\Rightarrow x+y\ge x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$

$\Rightarrow x^2-xy+y^2\le1\Rightarrow x^2+y^2\le1+xy$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$Câu trả lời: $2x^3+2y^3=x^3+x^5+y^3+y^5\ge2x^4+2y^4$

$\Rightarrow x^3+y^3\ge x^4+y^4\Rightarrow x^2+y^2+x^3+y^3\ge x^4+x^2+y^4+y^2\ge2x^3+2y^3$

$\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\Rightarrow x+y+x^2+y^2\ge x+x^3+y+y^3\ge2x^2+2y^2$

$\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2$

$\Rightarrow x+y\ge x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$

$\Rightarrow x^2-xy+y^2\le1\Rightarrow x^2+y^2\le1+xy$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Yonex arc saber 6 · Answer

`2x^3 + 2y^3 = x^3 + x^5 + y^3 + y^5 >= 2x^4 + 2y^4`Câu trả lời: `2x^3 + 2y^3 = x^3 + x^5 + y^3 + y^5 >= 2x^4 + 2y^4`

Violympic toán 9