Question

Cho xy \(\ge\) 1. CMR: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Answer 1

Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:

\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)