\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\xy=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\frac{3}{2}\)
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=2\sqrt{2}-\frac{3}{4}.\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\)
\(x^5+y^5=\left(x^2+y^2\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(xy\right)^2\left(x+y\right)=\frac{3}{2}.\frac{5\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{16}.\sqrt{2}=\frac{29\sqrt{2}}{16}\)
Vậy \(S=\frac{29\sqrt{2}}{16}\)
Giải phương trình:
\(a)\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\\ b)x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\\ c)\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-5}}\\ d)x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ e)\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Tính giá trị của biểu thức: \(A=x^2-3x\sqrt{y}+2y\), khi \(x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};y=\dfrac{1}{9+4\sqrt{5}}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Cho số thực x,y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)=1\). Tính giá trị của
\(P=x^7+y^7+2x^5+2y^5-3x^3-3y^3+4x+4y+100\)
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = \(\sqrt{\frac{1}{x^2}+x^2}+\sqrt{\frac{1}{y^2}+y^2}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+z^2}\)
1) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
Chứng minh rằng \(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2}\)
2) Giaỉ phương trình
\(\frac{4}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}+\frac{25}{\sqrt{z-5}}=16-\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}-\sqrt{z-5}\)
Tính x+y, x5+y5 biết x=\(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\) và \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x+y+z\(\le\)1
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
\(x=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}\) \(y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(\text{Tính }M=x^5+y^5\)