Với mọi số thực dương, ta chứng minh BĐT sau:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
Trước hết ta cần phải chứng minh BĐT Svac-xơ
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (1)
Thật vậy, bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có:
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
⇔(a2y+b2x)(x+y) ≥ (a+b)2(x+y)
⇔(ay-bx)2≥0 luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx hay \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT (1) ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
⇔\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\)≥4
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y
Ta có (x-y)\(^2\) ≥ 0 (x,y>0)
⇔x\(^2\)-2xy+y\(^2\)≥ 0
⇔x\(^2\)+2xy+y\(^2\)≥ 4xy
⇔(x+y)\(^2\)≥ 4xy
⇔x+y≥\(\dfrac{4xy}{x+y}\)
⇔x+y≥\(4\dfrac{xy}{x+y}\)
⇔(x+y):\(\left(\dfrac{xy}{x+y}\right)\)≥4
⇔(x+y).\(\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)\)≥4
⇔(x+y).\(\left(\dfrac{x}{xy}+\dfrac{y}{xy}\right)\)≥4
⇔(x+y).\(\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)≥4
