Question

CHo x>0 , y>0 và x+y=2a (a>0)

Tìm GTNN của A=\(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{2a}{xy}(1)\)

Theo BĐT Cô-si cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\geq 2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\geq 4xy\)

\(\Rightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{4a^2}{4}=a^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow x=y=a\)

Answer 2

Ta có : x > 0 ; y > 0. Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel ta có :

\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)

=> A đạt GTNN khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow x=y=a\)