Question

cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E . kẻ EF vuông góc AD . CF cắt đường tròn O tại M. chứng minh rằng

a, tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn

b, Tia AC là tia phân giác của góc BCF

c, BM vuông góc với AD

Answer 1

a) Ta có : \(\widehat{EFA}=90^o\left(EF\perp AD\right)\)

\(\widehat{ABE}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn

b) Xét tứ giác EFDC có :

\(\widehat{EFD}=90^o\left(EF\perp AD\right)\)

\(\widehat{ACD}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác EFDC nội tiếp đường tròn

=> \(\widehat{ECF}=\widehat{EDF}\) (cùng chắn cung EF) (1)

Lại có : \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}\) (cùng chắn cung AB) hay \(\widehat{EDF}=\widehat{BCA}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BCA}=\widehat{ECF}\)

=> AC là tia phân giác \(\widehat{BCF}\).