Lời giải:
Bạn chỉ cần lưu ý rằng tích vô hướng của các vecto vuông góc với nhau thì bằng $0$ và ứng dụng vào tam giác $ABE, CDE$ có các trực tâm $H,K$.
a)
\(\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AK})\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CK}=0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
b)
Tương tự phần a ta có $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$
$\Rightarroe \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}$
Vì $I,J$ là trung điểm của $BC,AD$ nên $\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{DJ}$ là các cặp vecto đối nhau.
Ta có:
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EJ}=\frac{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CE}}{2}+\frac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DJ}}{2}\)
\(=\frac{\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}}{2}+\frac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}}{2}=\frac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}}{2}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{IJ}=\frac{\overrightarrow{HK}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA})}{2}=\frac{\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}}{2}=0\)
$\Rightarrow \overrightarrow{HK}\perp \overrightarrow{IJ}$
Hình vẽ:
