Question

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AD.Gọi M là trung điểm của AB.Chứng minh

a) Đường tròn tâm O đường kính AC đi qua D

b)MD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Answer 1

Lời giải:

Hiển nhiên $O$ là trung điểm của $AC$

Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $DO=\frac{AC}{2}=AO=OD=R$ nên $D$ cùng thuộc đường tròn $(O)$
b.

Vì $DO=AO=R$ nên tam giác $OAD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{OAD}(1)$

Tương tự với tam giác vuông $BDA$ có $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $DM=\frac{AB}{2}=MA$

$\Rightarrow DMA$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MDA}=\widehat{MAD}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{ODA}+\widehat{MDA}=\widehat{OAD}+\widehat{MAD}=\widehat{BAC}=90^0$

Hay $\widehat{MDO}=90^0$

$\Rightarrow MD\perp DO$ nên $MD$ là tiếp tuyến $(O)$

 

Answer 2

Hình vẽ: