a) Xét ΔABC và ΔHBA có
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}\) chung
Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)
b) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=20^2+15^2=625\)
hay \(BC=\sqrt{625}=25cm\)
Ta có: ΔABC∼ΔHBA(cmt)
⇒\(\frac{AC}{HA}=\frac{BC}{BA}\)
hay \(\frac{15}{AH}=\frac{25}{20}\)
\(\Leftrightarrow AH=\frac{15\cdot20}{25}=\frac{300}{25}=12cm\)
Vậy: BC=25cm; AH=12cm
d) Ta có: \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=\widehat{BAC}\)(tia AH nằm giữa hai tia AB,AC)
⇔\(\widehat{CAD}=90^0-\widehat{BAH}\)(1)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)
nên \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BAH}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CAD}=\widehat{ABC}\)
Ta có: CD//AB(gt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: CD⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBAC và ΔACD có
\(\widehat{ABC}=\widehat{CAD}\)(cmt)
\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\left(=90^0\right)\)
Do đó: ΔBAC∼ΔACD(g-g)
⇒\(\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}\)
hay \(AC^2=AB\cdot DC\)(đpcm)