Lời giải:
Xét tam giác $AEH$ và $AHB$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle AEH\sim \triangle AHB(g.g)\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AE.AB=AH^2(1)\)
Hoàn toàn TT, ta thấy: \(\triangle AHF\sim \triangle ACH(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}\Rightarrow AC.AF=AH^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AE.AB=AC.AF\) (đpcm)
b) Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó $AH=EF$ và $HE=AF$
Xét tam giác $ABH$ và $CAH$ có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}=(90^0-\widehat{BAH})\)
\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CAH(g.g)(*)\Rightarrow \frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}\)
\(\Rightarrow AH^2=BH.CH=9.16\Rightarrow AH=12=EF\)
Tương tự với tam giác $AHB$:
\(BE.AE=HE^2=AF^2\Rightarrow \frac{BE}{AF}=\frac{AF}{AE}\)
Theo phần a: \(\frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow BE.AC=AF.AB\)
\(\Rightarrow S_{BEC}=S_{BAF}\)
\(\Rightarrow S_{BEM}+S_{BMC}=S_{BEM}+S_{AEMF}\)
\(\Rightarrow S_{BMC}=S_{AEMF}\)
