Lời giải:
Trước hết bạn cần nắm vững những công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông (những công thức này đã được CM trong SGK)
a) Xét tứ giác $AEHF$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên $AEHF$ là hình chữ nhật
b)
Xét tam giác vuông tại $H$ là $HAB$ có đường cao $HE$, áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$AH^2=AE.AB(1)$
Xét tam giác vuông tại $H$ là $HAC$ có đường cao $HF$, áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$AH^2=AF.AC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AE.AB=AF.AC$ (đpcm)
c)
Theo định lý Pitago:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm)
$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2$ (cm)
$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{9^2-7,2^2}=5,4$ (cm) (định lý Pitago)
$CH=BC-BH=15-5,4=9,6$ (cm)
$EF=AH=7,2$ (cm) do $AEHF$ là hình chữ nhật)
d)
Theo phần b:
$AE.AB=AH^2\Rightarrow AE=\frac{AH^2}{AB}=\frac{7,2^2}{9}=5,76$ (cm)
$AF.AC=AH^2\Rightarrow AF=\frac{AH^2}{AC}=\frac{7,2^2}{12}=4,32$ (cm)
$S_{AEF}=\frac{AE.AF}{2}=\frac{5,76.4,32}{2}=12,4416$ (cm2)
