Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), phân giác AD của BAC và phân giác ngoài AE (D,E ϵ BC). CMR:

a) \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

b) \(\frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AE}\)

Answer 1

a, Từ D kẻ \(DE\perp AB\), \(DF\perp AC\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật và có : \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=\widehat{F}=90^o\)

Mà đường chéo AD là phân giác

\(\Rightarrow\) AEDF là hình vuông

\(\Rightarrow\) \(DE=DF=\frac{AD}{\sqrt{2}}\)

Ta có : DE//AC \(\Rightarrow\) \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}\)

DF//AB \(\Rightarrow\) \(\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{BC}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{DF}{AB}+\frac{DE}{AC}=1\)

\(\Rightarrow DF.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)