a) Đề sai, sửa lại như sau: CM: BH = AK.
a) Vì \(\Delta ABC\) vuông cân ở A
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o;AB=AC\)
Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=90^o\) (1)
Lại có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat{BAH}+\widehat{CAK}=\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{ABH}\)
Xét \(\Delta BHA\) vuông tại H và \(\Delta AKC\) vuông tại K có:
AB = AC (c/m trên)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAK}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta BHA=\Delta AKC\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BH=AK\) (2 cạnh t/ư)
b) Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{ABC}+90^o=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{ABC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=45^o\)
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:
AM chung
AB = AC (câu a)
MB = MC (suy từ gt)
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 góc t/ư)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{AMB}+\widehat{ABM}+\widehat{BAM}=180^o\)
\(\Rightarrow90^o+45^o+\widehat{BAM}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M
\(\Rightarrow BM=AM\)
Ta lại có: \(\widehat{BEH}+\widehat{HBM}=90^o\) (t/c tgv)
\(\widehat{MAK}+\) \(\widehat{BEH}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\)
Xét \(\Delta\)\(MBH\) và \(\Delta MAK\) có:
MB = MA (c/m trên)
\(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\) (c/m trên)
BH = AK (câu a)
\(\Rightarrow\Delta MBH=\Delta MAK\left(c.g.c\right)\)
c) Vì \(\Delta MBH=\Delta MAK\) (câu b)
\(\Rightarrow\widehat{BHM}=\widehat{AKM}\) và MH = MK (2 cạnh t/ư) (4)
Có: \(\widehat{BHM}+\widehat{MHK}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AKM}+\widehat{MHK}=90^o\)
Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:
\(\widehat{AKM}+\widehat{MHK}+\widehat{HMK}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HMK}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta MHK\) vuông tại M (3)
Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta\)MHK vuông cân tại M.