a, BH = AK:
Ta có: ΔABC vuông cân tại A.
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=90^o\) (1)
Cũng có: BH ⊥ AE.
=> ΔBAH vuông tại H.
=> \(\widehat{B_1}+\widehat{A_2}=90^o\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\).
Xét ΔBAH và ΔACK có:
+ AB = AC (ΔABC cân)
+ \(\widehat{H_1}=\widehat{K_1}=90^o\) (CK ⊥ AE, BH ⊥ AE)
+ \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=\left(cmt\right)\)
=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)
b, ΔMBH = ΔMAK:
Ta có: BH ⊥ AK; CK ⊥ AE.
=> BH // CK.
=> \(\widehat{HBM}=\widehat{MCK}\) (2 góc so le trong) [1]
Mà \(\widehat{MAE}+\widehat{AEM}=90^o\) [2]
Và \(\widehat{MCK}+\widehat{CEK}=90^o\) [3]
\(\widehat{AEM}=\widehat{CEK}\) (đối đỉnh) [4]
Từ [1], [2], [3] và [4] => \(\widehat{MAE}=\widehat{ECK}\) [5]
Từ [1] và [5] => \(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\).
Ta có: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.
Xét ΔMBH và ΔMAK có:
+ MA = MB (cmt)
+ \(\widehat{HBM}=\widehat{MAK}\) (cmt)
+ BH = AK (câu a)
=> ΔMBH = ΔMAK (c - g - c)
c, ΔMHK vuông cân:
Xét ΔAMH và ΔCMK có:
+ AH = CK (ΔABH = ΔCAK)
+ MH = MK (ΔMBH = ΔMAK)
+ AM = CM (AM là trung tuyến)
=> ΔAMH = ΔCMK (c - c - c)
=> \(\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{AMH}+\widehat{HMC}=90^o\)
=> \(\widehat{CMK}+\widehat{HMC}=90^o\)
hay \(\widehat{HMK}=90^o\).
ΔHMK có MK = MH và \(\widehat{MHK}=90^o\).
=> ΔHMK vuông cân tại M.