Violympic toán 9

TG

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Từ điểm M bất kì trên đường tròn (O) kẻ MP, MQ, MR lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, AC, AB
a) Chứng minh các tứ giác BPMR, CQMP nội tiếp
b) Chứng minh 3 điểm P, Q, R thẳng hàng

Nguyễn Ngọc Lộc , Nguyễn Thành Trương , Trần Thanh Phương

NT
2 tháng 4 2020 lúc 21:28

Violympic toán 9

$a)$

+ Xét tứ giác $BPMR$ có:

\(\widehat{MPB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $BM$)

\(\widehat{MRB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $BM$)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MPB}=\widehat{MRB}=90^0\)

Vậy tứ giác $BPMR$ nội tiếp.

+ Xét tứ giác $CQPM$ có:

\(\widehat{CQM}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $MC$)

\(\widehat{CPM}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $MC$)

\(\Rightarrow\widehat{CQM}=\widehat{CPM}=90^0\)

Vậy tứ giác $CQMP$ nội tiếp.

$b)$

Dễ thấy tứ giác $PBMQ$ nội tiếp (vì $\widehat{BPM}=\widehat{BQM}=90^0$)

$\Rightarrow \widehat{PBM}=\widehat{PQM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $PM$)

Lại có: $\widehat{PBM}=\widehat{ACM}$ (do tứ giác $ACMB$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{PQM}=\widehat{ACM}(1)$

Mặt khác: $\widehat{MQC}=\widehat{MRC}=90^0(gt)$

Do tứ giác $MQRC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MQR}+\widehat{ACM}=180^0(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \widehat{PQM}+\widehat{MQR}=180^0$

Chứng tỏ ba điểm $P,Q,R$ thẳng hàng $\Rightarrow$ đpcm

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
PT
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
P2
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
VC
Xem chi tiết
TG
Xem chi tiết
MH
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết