Question

cho tam giác ABC nhọn . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy D sao cho AD vuông góc AB và AD=AB . trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy E sao cho AE vuông góc AC và AE=AC 
Chứng minh rằng : a, BE=CD
                               b,BE vuông góc CD

Answer 1

a: Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90^0\)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{BAC}+90^0\)

Do đó: \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét ΔBAE và ΔDAC có

AB=AD

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\)

AE=AC

DO đó: ΔBAE=ΔDAC

=>BE=DC

b: Gọi giao điểm của BE và CD là H

Ta có: ΔBAE=ΔDAC

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{ADC};\widehat{AEB}=\widehat{ACD}\)

Xét tứ giác AHBD có \(\widehat{ADH}=\widehat{ABH}\)

nên AHBD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DHA}=\widehat{DBA}=45^0\)

Xét tứ giác AHCE có \(\widehat{AEH}=\widehat{ACH}\)

nên AHCE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ACE}=45^0\)

\(\widehat{DHE}=\widehat{DHA}+\widehat{EHA}=45^0+45^0=90^0\)

=>EB\(\perp\)CD tại H