Sửa đề:Cho tam giác ABC đường cao AH.I là điểm bất kì trên đoạn AH,đường thẳng CI cắt AB tại P.đường thẳng BI cắt AC tại Q.CMR: AH là tia phân giác của góc QHP
Đâu tiên mình sẽ phát biểu định lí Ceva: Giả sử tam giác ABC có AM,BI,CK với M thuộc BC,I thuộc AC,K thuộc AB . Ba đoạn thẳng này đồng quy khi và chỉ khi AK.BM.CI=AI.CM.BK
(Bạn có thể lên mạng tham khảo định lí này nếu chưa biết)
Giải bài:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt HP,HQ lần lượt ở T,U
Xét AT//BH theo định lí Thales ta có:
\(\dfrac{AT}{BH}=\dfrac{PA}{PB}\Leftrightarrow AT=\dfrac{PA.HB}{PB}\left(1\right)\)
Xét AU//HC theo định lí Thales ta được:
\(\dfrac{AU}{HC}=\dfrac{AQ}{QC}\Leftrightarrow AU=\dfrac{HC.AQ}{QC}\left(2\right)\)
Áp dụng định lí Ceva: AH,CP,BQ đồng quy tại I nên:
\(BH.CQ.AP=AQ.CH.BP\Leftrightarrow\dfrac{AP.HB}{PB}=\dfrac{HC.AQ}{QC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) ta có: \(AT=AU\)
Xét tam giác HUT có:
\(AT=AU;AH\perp TU\)(do \(TU//BC;AH\perp BC\))
nên tam giác HUT cân tại H
=> AH là tia phân giác của góc QHP(đpcm)