Lời giải:
a)
Ta thấy: $\Delta=(-m)^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\geq 0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có nghiệm với mọi $m$ (đpcm)
b)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta=(m-2)^2>0\Leftrightarrow m\neq 2$
Áp dụng định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là nghiệm ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
$x_1,x_2$ là 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có đường cao $\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{h^2}=4$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4(x_1x_2)^2$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(x_1x_2)^2$
$\Leftrightarrow m^2-2(m-1)=4(m-1)^2$
$\Leftrightarrow 3m^2-6m+2=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$ (thỏa mãn)
Vậy..
