Question

Cho \(P=n^4+4\). Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố

Answer 1

Xét n=0 thì P không là snt(loại)

Xét n>0

\(P=n^4+4\)

\(P=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(P=\left(n^2+2\right)-4n^2\)

\(P=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

Mà \(n^2+2n+2>n^2-2n+2\forall n\in N\)*

Để P là snt thì \(n^2-2n+2=1\)

\(\Leftrightarrow n=1\left(tm\right)\)

Thử lại ta thấy tm

Vậy n=1 thì P là snt

Answer 2

Với \(n=0\) thì \(P=n^4+4=0^4+4=4\) (loại vì P là hợp số)

Với \(n=1\) thì \(P=n^4+4=1^4+4=5\) (P là số nguyên tố)

Với \(n\ge2\) thì ta đặt \(n=2k+r\left(k\ge1;r\ge0\right)\)thì

\(P=n^4+4=\left(2k+r\right)^4+4=16.k^4+4.\left(2k\right)^3.r+6.\left(2k\right)^2.r^2+4.\left(2k\right).r^3+64⋮2\)Mặt khác với \(n\ge2\Rightarrow P>2\) do vậy P là hợp số

Kết luận n = 1