Question

Cho phương trình \(x^2+x-m=0\). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3+mx_2=-3\).

Answer 1

\(\Delta=1+4m>0\Rightarrow m>-\dfrac{1}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2+x_1-m=0\Rightarrow x_1^2=-x_1+m\)

\(\Rightarrow x_1^3=-x_1^2+mx_1=-\left(-x_1+m\right)+mx_1=x_1-m+mx_1\)

Ta được: 

\(x_1^3+mx_2=-3\Leftrightarrow x_1-m+mx_1+mx_2=-3\)

\(\Leftrightarrow x_1-m+m\left(x_1+x_2\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow x_1-m-m=-3\Rightarrow x_1=2m-3\)

\(\Rightarrow x_2=-1-x_1=-2m+2\)

Thế vào \(x_1x_2=-m\Rightarrow\left(2m-3\right)\left(-2m+2\right)=-m\)

\(\Leftrightarrow4m^2-11m+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=2\end{matrix}\right.\)