Question

Cho phương trình -x^2+2x+m^2-8m+15=0.

a, chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm .

b,Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x1,x2 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x1^2 +x2^2+x1*x2

Answer 1

Đề yêu cầu tìm GTNN? GTLN chứ nhỉ?

\(pt:-x^2+2x+m^2-8m+15=0\)

\(\Delta'=1^2-\left(m^2-8m+15\right)\left(-1\right)=1+m^2-8m+15=\left(m-4\right)^2\ge0\forall m\)

⇒ pt luôn có nghiệm

Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m^2-8m+15\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=\left(-2\right)^2-\left(m^2-8m+15\right)=-m^2+8m-15+4=-m^2+8m-11=-\left(m^2+8m+16\right)+16-11=-\left(m+4\right)^2+5\)

Vì \(-\left(m+4\right)^2\le0\forall m\Rightarrow-\left(m+4\right)^2+5\le5\forall m\)

Vậy \(Max_A=5\Leftrightarrow m=-4\)