Question

Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\left(1\right)\)

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

Answer 1

Ta có : \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+4\right)=m^2+2m+1-m^2-4=2m-3\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Rightarrow2m-3>0\Rightarrow m>\frac{3}{2}\)

Theo hệ thức vi-et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài :

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^{^2}+x_1x_2=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=3m^2+16\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-\left(m^2+4\right)-\left(3m^2+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-m^2-4-3m^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow8m-16=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\left(TM\right)\)