Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(\Delta'\ge0\Rightarrow\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-2m+5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2+2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy với \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm.
Theo định lí Vi-et cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1< 2< x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-2< 0\\x_2-2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)< 0\)
\(\Rightarrow x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4< 0\)
\(\Rightarrow2m-5-2.2\left(m-1\right)+4< 0\)
\(\Rightarrow2m-5-4m+4+4< 0\)
\(\Rightarrow-2m+3< 0\)
\(\Rightarrow m>\dfrac{3}{2}\)
.