Question

cho P: y=x² và đg thẳng (d) : y= 2x +m²+1

a) Chứng minh rằng với mọi m thuộc R, đg thẳng d luôn cắt parabol P tại 2 đ phân biệt A và B

b) gọi x_A , x_B là hoành độ của A và B. tìm m sao cho x_A²+ x_B² =14

Answer 1

Lời giải:

a)

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(2x+m^2+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-(m^2+1)=0(*)\)

Ta thấy \(\Delta'_{(*)}=1+(m^2+1)>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in\mathbb{R}$

Hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B với mọi $m\in\mathbb{R}$ (đpcm)

b)

Với $x_A,x_B$ là hoành độ của $A,B$ thì $x_A,x_B$ là nghiệm của $(*)$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2\\ x_Ax_B=-(m^2+1)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(x_A^2+x_B^2=14\)

\(\Leftrightarrow (x_A+x_B)^2-2x_Ax_B=14\)

\(\Leftrightarrow 2^2+2(m^2+1)=14\)

\(\Leftrightarrow m^2=4\Rightarrow m=\pm 2\)

Answer 2

Lời giải:

a)

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(2x+m^2+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-(m^2+1)=0(*)\)

Ta thấy \(\Delta'_{(*)}=1+(m^2+1)>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in\mathbb{R}$

Hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B với mọi $m\in\mathbb{R}$ (đpcm)

b)

Với $x_A,x_B$ là hoành độ của $A,B$ thì $x_A,x_B$ là nghiệm của $(*)$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2\\ x_Ax_B=-(m^2+1)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(x_A^2+x_B^2=14\)

\(\Leftrightarrow (x_A+x_B)^2-2x_Ax_B=14\)

\(\Leftrightarrow 2^2+2(m^2+1)=14\)

\(\Leftrightarrow m^2=4\Rightarrow m=\pm 2\)