Question

Cho (P): y = \(x^2-3x+1\) và (d) : y = \(\left(2m^2+1\right)x+2\) và điểm M(3;3). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác MBA vuông cân tại M

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(2m^2+1=t\)

Gọi \(A(x_A, tx_A+2); B(x_B; tx_B+2)\)

PT hoành độ giao điểm $(P)$ và $(d)$ là:

\(x^2-3x+1-(tx+2)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-(t+3)x-1=0\)

Theo định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=t+3\\ x_Ax_B=-1\end{matrix}\right.\)

Để thỏa mãn tam giác $MBA$ vuông cân tại $M$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} |\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}|\\ \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow {0}\end{matrix}\right.\)

Trước hết : \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow (x_A-3, tx_A-1)(x_B-3, tx_B-1)=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow (x_A-3)(x_B-3)+(tx_A-1)(tx_B-1)=0\)

\(\Leftrightarrow x_Ax_B-3(x_A+x_B)+9+t^2x_Ax_B-t(x_A+x_B)+1=0\)

\(\Leftrightarrow -1-3(t+3)+9-t^2-t(t+3)+1=0\)

\(\Leftrightarrow -2t^2-6t=0\Leftrightarrow t=0\) hoặc $t=-3$

Hiển nhiên \(t=2m^2+1>0\) với mọi $m$ nên vô lý

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn.