Cho (P): \(y=-\frac{x^2}{4}\) và điểm M (1; -2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m.
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
c) Gọi \(x_A\), \(x_B\) lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để \(x^2_Ax_B+x_Ax_B^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B. Tính S theo m
a/ Gọi pt đường thẳng là \(y=mx+b\Rightarrow-2=m+b\Rightarrow b=-2-m\)
\(\Rightarrow y=mx-m-2\)
b/ Phương trình hoành độ giao điểm:
\(-\frac{x^2}{4}=mx-m-2\Leftrightarrow x^2-4mx-4m-8=0\)
\(\Delta'=4m^2+4m+8=\left(2m+1\right)^2+7>0\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow d\) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb
c/ \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=4m\\x_Ax_B=-4m-8\end{matrix}\right.\) (1)
\(A=x_A^2x_B+x_Ax_B^2=x_Ax_B\left(x_A+x_B\right)=\left(-4m-8\right).4m\)
\(\Rightarrow A=-16\left(m^2+2m\right)=16-16\left(m+1\right)^2\le16\)
\(\Rightarrow A_{max}=16\) khi \(m=-1\) ; \(A_{min}\) ko tồn tại (chắc bạn chép nhầm đề)
d/ Giả sử \(A\) là điểm có hoành độ nhỏ hơn
\(AA'B'B\) là hình thang vuông với các kích thước:
\(A'B'=x_B-x_A\) ; \(AA'=\left|y_A\right|=\frac{x_A^2}{4}\) ; \(BB'=\left|y_B\right|=\frac{x_B^2}{4}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}A'B'\left(AA'+BB'\right)=\frac{1}{8}\left(x_B-x_A\right)\left(x_A^2+x_B^2\right)\)
\(=\frac{1}{8}\sqrt{\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B}.\left[\left(x_A+x_B\right)^2-2x_Ax_B\right]\) (2)
Thay (1) vào (2)
\(\Rightarrow S=...\)
