Question

Cho p là số nguyên tố > 3. Chứng minh rằng : ( p -1 ). ( p + 4 ) chia hết cho 6

Answer 1

Ta có : \(p\) là số nguyên tố \(>3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)

+) \(p=3k+1\Leftrightarrow p=3k⋮3\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+4\right)⋮3\left(1\right)\)

+) \(p=3k+2\Leftrightarrow p+4=3k⋮3\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+4\right)⋮3\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\forall p>3\) \(\left(I\right)\)

Mặt khác :

+) \(p=3k+1\Leftrightarrow p+4⋮2\left(3\right)\)

+) \(p=3k+2\Leftrightarrow p-1⋮\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)+\left(4\right)\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+4\right)⋮2\left(II\right)\)

Từ \(\left(I\right)+\left(II\right)\Leftrightarrowđpcm\)