Cho nửa đường tròn tâm O, đường Mn=2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến Mx và Ny với nửa đường tròn. Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn (I khác M,N). Tiếp tuyến tại I cắt Mx và Ny lần lượt tại A và B
a) Tính góc AOB
b) Gọi P là giao điểm của MI và OA, Q là giao điểm của NI và OB. CMR: PO.PA+QO.QB=R^2
a) Xét (O) có
BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)
BN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)
Do đó: OB là tia phân giác của \(\widehat{NOI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(\widehat{BOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{NOI}\)
Xét (O) có
AI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)
AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{IOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{IOM}\)
Ta có: \(\widehat{IOB}+\widehat{IOA}=\widehat{BOA}\)(tia OI nằm giữa hai tia OA và OB)
\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ION}+\widehat{IOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0\)
hay \(\widehat{AOB}=90^0\)
Vậy: \(\widehat{AOB}=90^0\)