cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. tiếp tuyến tại M và B của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở D. Qua O kẻ đường thẳng song song với MB, cắt tiếp tuyến tại M ở C và cắt tiếp tuyến tại B ở N
a) CMR : tam giác CDN là tam giác cân
b) CMR: AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)
c) tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để diện tích tam giác CDN đạt giá trị nhỏ nhất
- Từ A kẻ tiếp tuyến cắt tiếp tuyến M tại C .
- Xét ( O ) có : Hai tiếp tuyến AC và MC cắt nhau tại C .
=> CA = CM ( Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )
- Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta NBO\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAO}=\widehat{NOB}\left(=90^o\right)\\OA=OB\left(=R\right)\\\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(>< \right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta CAO\) = \(\Delta NBO\) ( cgv - gn )
=> CA = NB ( cạnh tương ứng )
Mà CA = CM ( cmt )
=> BN = CM .
- Xét \(\Delta CMO\) và \(\Delta NBO\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}CM=BN\left(cmt\right)\\\widehat{CMO}=\widehat{NBO}=\left(90^o\right)\\OM=OB\left(=R\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta CMO\) và \(\Delta NBO\) ( 2cgv )
=> \(\widehat{MCO}=\widehat{BNO}\) ( góc tương ứng )
- Xét \(\Delta CDN\) có : \(\widehat{MCO}=\widehat{BNO}\) ( cmt )
=> \(\Delta CDN\) cân tại D ( tính chất tam giác cân )