Cho nửa đường tròn (O) bán kính R; đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy M sao cho AM>R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Tia MC cắt By tại D.
a, Chứng minh: MD=MA + BD và \(\Delta\)OMD vuông.
b, Cho AM = 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM.
c, Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh: OK \(\perp\)BM
a) Xét (O) có
MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: MA=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét (O) có
DC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: DC=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: CM+CD=MD(C nằm giữa M và D)
mà MC=MA(cmt)
và DC=DB(cmt)
nên MD=MA+BD(đpcm)
Ta có: MA=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OA=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC
hay MO⊥AC
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,C,B∈(O))
AB là đường kính của (O)
Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)
⇒CA⊥CB
Ta có: CA⊥CB(cmt)
MO⊥CA(cmt)
Do đó: BC//MO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Ta có: DC=DB(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của BC
hay OD⊥BC
Ta có: BC//MO(cmt)
BC⊥OD(cmt)
Do đó: MO⊥OD(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔMOD có MO⊥OD(cmt)
nên ΔMOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)