Câu hỏi của đỗ phúc huy

Question

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh

A= 52n+1+22n+4+22n+1 chia hết cho 23

Nhớ giải bằng đồng dư thức nha !

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đề sai, thử với $n=0;1;2...$ đều không đúng

Đề đúng phải là: $A=5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$

Ta có: $25\equiv2\left(mod23\right)\Rightarrow25^n\equiv2^n\left(mod23\right)$

$\Rightarrow5^{2n+1}=5.25^n\equiv5.2^n\left(mod23\right)$

$\Rightarrow A\equiv\left(5.2^n+2^{n+4}+2^{n+1}\right)\left(mod23\right)$

Mà $5.2^n+2^{n+4}+2^{n+1}=5.2^n+16.2^n+2.2^n=23.2^n\equiv0\left(mod23\right)$

$\Rightarrow A\equiv0\left(mod23\right)\Rightarrow A⋮23$Câu trả lời: Đề sai, thử với $n=0;1;2...$ đều không đúng

Đề đúng phải là: $A=5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$

Ta có: $25\equiv2\left(mod23\right)\Rightarrow25^n\equiv2^n\left(mod23\right)$

$\Rightarrow5^{2n+1}=5.25^n\equiv5.2^n\left(mod23\right)$

$\Rightarrow A\equiv\left(5.2^n+2^{n+4}+2^{n+1}\right)\left(mod23\right)$

Mà $5.2^n+2^{n+4}+2^{n+1}=5.2^n+16.2^n+2.2^n=23.2^n\equiv0\left(mod23\right)$

$\Rightarrow A\equiv0\left(mod23\right)\Rightarrow A⋮23$

Ôn tập cuối năm phần số học