Question

Cho m, n, p, q là các số thực thỏa mãn n+q\(\ne0\) và\(\frac{mp}{n+q}\ge2\)

Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: \(\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+px+q\right)=0\)

Answer 1

Lời giải:

Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm. Điều này tương đương với hai PT con là \(x^2+mx+n=0(1)\) và \(x^2+px+q=0(2)\) vô nghiệm.

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta_{(1)}=m^2-4n< 0\\ \Delta_{(2)}=p^2-4q< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 4(n+q)> m^2+p^2\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4(n+q)> m^2+p^2\geq 0, \forall m,p\in\mathbb{R}\\ 4(n+q)-2mp> (m-p)^2\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n+q>0\\ 2(n+q)> mp\end{matrix}\right.\Rightarrow 2> \frac{mp}{n+p}\) (trái với giả thiết)

Do đó điều giả sử là sai, hay PT đã cho luôn có nghiệm.