Question

cho \(\left(C\right):x^2+y^2+4x-4y-1=0\)

\(\left(d\right):4x+3y-1=0\)

\(\overrightarrow{u}\left(a;2-a\right)\)

Qua phép tịnh tiến T theo \(\overrightarrow{u}\) đường thẳng d biến thành đường thẳng d'. Tìm a để d' và (C) tiếp xúc với nhau

Answer 1

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;2\right)\) bán kính \(R=3\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(4x+3y+c=0\)

d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-8+6+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\Rightarrow\left|c-2\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=17\\c=-13\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d': \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y+17=0\\4x+3y-13=0\end{matrix}\right.\)

Chọn \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\in d\)

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến T thì \(A'\left(a;2-a+\frac{1}{3}\right)\Rightarrow A'\left(a;\frac{7}{3}-a\right)\)

Do \(A'\in d'\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)+17=0\\4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-24\\a=-6\end{matrix}\right.\)