Đặt \(CD=a\) ; \(d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=h\) ; \(d\left(AB;CD\right)=b\) ; \(S_{ABCD}=s\)
Nối DN kéo dài cắt AB tại E \(\Rightarrow\frac{CN}{BN}=\frac{DC}{BE}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{a}{BE}\Rightarrow BE=2a=AB\)
Trong (SAB), nối ME cắt SB tại F
M là trung điểm SA, B là trung điểm AE \(\Rightarrow\) F là trọng tâm tam giác SAE \(\Rightarrow BF=\frac{1}{3}SB\)
Ta đi tính thể tích khối đa diện ADMFBN, đặt là \(V\)
Đặt thể tích chóp \(M.ADE\) là \(V_1\) ; thể tích chóp \(F.BEN\) là \(V_2\Rightarrow V=V_1-V_2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BE=2CD\\d\left(N;CD\right)=\frac{1}{2}d\left(N;AB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{S_{BEN}}{S_{CDN}}=\frac{\frac{1}{2}d\left(N;AB\right).BE}{\frac{1}{2}d\left(N;CD\right).CD}=4\)
\(s=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).d\left(AB;CD\right)=\frac{3}{2}ab\)
\(S_{BEN}=\frac{1}{2}d\left(N;AB\right).BE=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}b.a=\frac{1}{3}ab=\frac{2}{9}s\Rightarrow S_{CDN}=\frac{s}{18}\)
\(\Rightarrow S_{ADE}=s+S_{BNE}-S_{CDN}=s+\frac{2s}{9}-\frac{s}{18}=\frac{7s}{6}\)
\(\Rightarrow V_1=\frac{1}{3}d\left(M;\left(ADE\right)\right).S_{ADE}=\frac{1}{3}.\frac{h}{2}.\frac{7s}{6}=\frac{7}{12}\left(\frac{1}{3}sh\right)=\frac{7}{12}.27=\frac{63}{4}\)
\(V_2=\frac{1}{3}d\left(F;\left(BEN\right)\right).S_{BEN}=\frac{1}{3}.\frac{h}{3}.\frac{2s}{9}=\frac{2}{27}\left(\frac{1}{3}sh\right)=2\)
\(\Rightarrow V=\frac{63}{4}-2=\frac{55}{4}\)