Cho hình vuông ABCD. Gọi E là Điểm thay đổi trên cạnh BC ( E ko trùng vs B, C) và F là điểm thay đổi trên cạnh CD sao cho góc EAF = 450. BD cắt AE, AF lần lượt tại M và N
a) CMR: 5 điểm E, M, N, F, C cùng nằm trên 1 đg tròn
b) tính tỉ số \(\frac{MN}{EF}\)
c) Cm đường thẳng EF luôn tiếp xúc vs 1 đg tròn cố định khi E, F thay đổi
Cho tam giác ABC có cạnh BC nhỏ nhất, đường tròn (I) nội tiếp tam giác và tiếp xúc ba cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi M,N lần lượt là hai điểm đối xứng của C,B qua E,F. Các đường thảng BM,CN cắt EF lần lượt tại K,L. Chứng minh rằng DK// và D thuộc trung trực của Kl
Cho hình vuông ABCD. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Vẽ
đường tròn (M,MB) và đường tròn (N,ND).
1. Chứng minh rằng hai đường tròn (M) và (N) luôn cắt nhau.
2. Gọi giao điểm của hai đường tròn là E và F, trong đó E và C nằm trên cùng nửa mặt phẳng
bờ MN. NE kéo dài cắt BC tại H. Chứng minh rằng NH vuông góc với BC.
3. Chứng minh rằng E, F, C thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BA, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Hình chiếu của các điểm B, C, D trên EF lần lượt là X, Y, K. a) CMR: BD.KC=BK.CD b) Gọi G là điểm nằm trên cung nhỏ EF của đường tròn (I). Tiếp tuyến tại G của đường tròn (I) cắt AB, AC tại T, J. Tìm vị trí của G cung nhỏ EF để diện tích tam giác ATJ đạt giá trị lớn nhất. c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. CMR: IKD=HKD Chỉ được dùng kiến thức hk1 lớp 9. Giúp tớ với ạ! Mai tớ phải nộp rùii
Bài 1:
a. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF và AI = 1/2 EF.
b. Cho đường tròn (O) có dây cung AB không qua tâm. C là một điểm bất kì trên cung nhỏ AB, đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở D, tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh OI song song với phân giác trong của góc ADB.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E,F sao cho D không trùng với A, B và góc EDF= 60 độ.
a. CMR: AF.BE=AD.BD
b. CM AF.BE < hoặc = a^2/4. Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB, O' là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D (D # A) và cắt đường tròn (O') tại K (K # A). BK cắt CD tại H.
a. Tính tỉ số HC/CD
b. Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn AO, C khác A và O. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại D. M là điểm bất kì trên cung BD (M khác B và D). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a. CM bốn điểm B,C,F,M cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh EM = EF
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường thẳng dthay đổi đi qua A, cắt (O) tại điểm thứ hai là E, cắt hai tiếp tuyến kẻ từ B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N sao cho A,M,N nằm ở cùng một nửa mặt phẳn bờ BC. Gọi giao điểm của hai đường thẳng MC và BN là F. CMR:
a, Hai tam giác MBA và CAN đồng dạng và tích M.CN không đổi.
b. Tứ giác BMEF nội tiếp trong một đường tròn
c. Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (d) thay đổi.
Bài 6: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, góc A =45 độ. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a, CM tứ giác AEHD nội tiếp
b. CM HD=DC
c. Tính tỉ số DE/BC
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh AO vuông góc DE.
Bài 7: Cho đường tròn (T) tâm O, đường kính AO, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy một điểm M di động trên đường tròn (T), gọi C là một điểm cố định trên đoạn OA, đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với CM tại M cắt Ax, By lần lượt tại E,F.
a. CM tam giác ECF vuông tại C
b. Xác định điểm M trên đường tròn (T) để tứ giác AEFB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8:
1. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B,C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=20N. Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số AM/AO.
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy E và F lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC, CD (E,F không trùng với các đỉnh) sao cho góc EAF= 45 độ. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Gọi H là giao điểm của MF và NE.
a. Chứng minh AH vuông góc EF
b. Đặ BE=x, DF=y. Chứng minh a(x+y) +xy = a^2. Hãy xác định dộ dài nhỏ nhất của EF
cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chưa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax và By . Điểm M thuộc (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Cm: CD= AC+BD
b) Cm: OC vuông AM
c) Gọi E là giao điểm AM và Oc, F là giao điểmcủa BM và OD . Tứ giác MÈO là hình gì? Tại sao?
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi I là dây cung của OA. Vẽ dây CD vuông góc với OA tại I. Lấy điểm E tùy ý trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Gọi K là giao điểm của AE và BC. Kẻ KH vuông góc AB (H thuộc AB)
1) Chứng minh rằng BEHK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng HK là tia phân giác của EHC và ba điểm E, H, D thẳng hàng.
3) Tìm vị trí của điểm E trên cung nhỏ BC sao cho chu vi ACEB lớn nhất.
