Question

Cho hình thoi ABCD có góc A = 120 độ . Vẽ tia Ax nằm trong hình thoi sao cho góc xAB = 15 độ . Tia Ax cắt BC tại I và cắt đường thẳng CD tại K . CMR \(\dfrac{4}{3AB^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\)

Answer 1

Kẻ tia Ay sao cho \(\widehat{yAD}=15^0\). Tia Ay cắt DC tại E.

Kẻ \(AF\perp DC\left(F\in DC\right)\)

\(\Delta EAD=\Delta IAB\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\AE=AI\end{matrix}\right.\) (1)

\(\widehat{EAI}=\widehat{DAB}-\widehat{DAE}-\widehat{IAB}=120^0-15^0-15^0=90^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AF^2}\) (h.t.l. trong \(\Delta AEK\) vuông tại A) (2)

\(\widehat{DAC}+\widehat{DAB}=180^0\) (trong cùng phía, AB // CD)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\) đều (AD = DC) có AF là đ.c.

\(\Rightarrow AF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{4}{3AD^2}\) (3)

(1), (2) và (3) \(\Rightarrow\dfrac{4}{3AB^2}=\dfrac{1}{AI^2}+\dfrac{1}{AK^2}\left(\text{đ}pcm\right)\)

Hình tự vẽ >o<