a) Vì ABCD là hình thang nên ta có:
AB // CD
\(\Rightarrow\) AB // MD (1)
Ta có:
\(AB=\dfrac{1}{2}CD\) (gt) (2)
Mà MD = MC \(=\dfrac{1}{2}CD\) (3)
Từ (2), (3) \(\Rightarrow AB=MD\) (4)
Từ (1), (4) \(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành (5)
Mà AB = AD (gt) (6)
Từ (5), (6) \(\Rightarrow ABCD\) là hình thoi (7)
b) Ta có: MD = MC (gt)
\(\Rightarrow\) BM là đường trung tuyến của \(\Delta DBC\) (8)
Từ (7) \(\Rightarrow BM=MD\) (9)
Mà MD = MC \(=\dfrac{1}{2}CD\) (10)
Từ (9), (10) \(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}CD\) (11)
Từ (8), (11) \(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông tại B (12) (vì nếu là tam giác vuông thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow BD\perp BC\)
c) Từ (7) \(\Rightarrow DB\) là tia phân giác của \(\widehat{ADM}\)
\(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) (13)
Từ (7) \(\Rightarrow DB\perp AM\)
\(\Rightarrow\widehat{DHA}=90^0\)(14)
Từ (12) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=90^0\)(15)
Từ (13), (14), (15) \(\Rightarrow\Delta ADH\sim\Delta CDB\) (G-G) (16)
d) Từ (2) \(\Rightarrow CD=2AB=2.2,5=5\left(cm\right)\)
Theo định lý Py-ta-go ta có:
CD2 = BD2 + BC2
\(\Rightarrow BC^2=CD^2-BD^2=5^2-4^2=25-16=9\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{9}=3\left(cm\right)\)
Từ (7) \(\Rightarrow AH\perp DB\)
Nên AH là đường cao của \(\Delta ABD\)
Từ (4) \(\Rightarrow\) AB = AD = 2,5 cm
Từ (16) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AH}{CB}\Leftrightarrow\dfrac{2,5}{5}=\dfrac{AH}{3}\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{2,5.3}{5}=\dfrac{3}{2}=1,5\left(cm\right)\)
Ta có:
\(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}AH.DB=\dfrac{1}{2}.1,5.4=3\left(cm^2\right)\)
\(S_{DBC}=\dfrac{1}{2}DB.BC=\dfrac{1}{2}.4.3=6\left(cm^2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{DBC}=3+6=9\left(cm^2\right)\)
