4 cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông nên S.ABCD là chóp tứ giác đều
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(AO=\frac{1}{2}AC\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow CD\perp\left(SOM\right)\)
Từ O kẻ OH vuông góc SM \(\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)
\(OM=\frac{1}{2}OA=\frac{a}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SOM:
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OM^2}\Rightarrow OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{SO^2+OM^2}}=\frac{a\sqrt{210}}{30}\)
\(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{210}}{15}\)