Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^3-3mx^2+6mx-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-\left(3m-2\right)x+4\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-\left(3m-2\right)x+4=0\end{matrix}\right.\)
Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-\left(3m-2\right)x+4=0\) có 2 nghiệm pb khác 2
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(3m-2\right)^2-16>0\\f\left(2\right)=4-2\left(3m-2\right)+4\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
- Với \(m>2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m-2>3.2-2=4>0\\x_1x_2=4>0\\f\left(2\right)=12-6m< 12-6.2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1< 2< x_2\)
Do 3 nghiệm lập thành cấp số nhân \(\Rightarrow x_1x_2=2^2=4\) (đúng)
\(\Rightarrow\) Với mọi \(m>2\) thì 3 nghiệm pt luôn tạo thành CSN
- Với \(m< -\frac{3}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m-2< 0\\x_1x_2=4>0\\f\left(2\right)=12-6m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_2< x_1< 0< 2\)
Để 3 nghiệm lập thành CSN \(\Leftrightarrow x_1^2=2x_2\) \(\Rightarrow x_2=\frac{x_1^2}{2}>0\) ko thỏa mãn
Vậy \(m=\left\{3;4;5\right\}\Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên