Lời giải:
Xét hàm \(f(x)=\frac{2x+1}{x^2(x+1)^2}\)
\(f(x)=\frac{x+(x+1)}{x^2(x+1)^2}=\frac{1}{x(x+1)^2}+\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x+1}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+\frac{1}{x}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
Do đó:
\(s=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(x)=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=1-\frac{1}{(x+1)^2}\)
Để \(s=\frac{2y(x+1)^3-1}{(x+1)^2}-19+x\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{1}{(x+1)^2}=2y(x+1)-\frac{1}{(x+1)^2}-19+x\)
\(\Leftrightarrow 1=2y(x+1)-19+x\)
\(\Leftrightarrow (2y+1)(x+1)=21\)
Vì $x,y$ nguyên dương nen $2y+1$ và $x+1$ cũng là các nguyên dương lớn hơn $1$. Do đó ta xét các TH sau:
\(\left\{\begin{matrix} 2y+1=3\\ x+1=7\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=6\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 2y+1=7\\ x+1=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3\\ x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy............
