Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên R thỏa: \(\left(x+2\right)f\left(x\right)+\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^x\) và \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\). Tính \(f\left(2\right)\).

A. \(\frac{e}{3}\)

B. \(\frac{e}{6}\)

C. \(\frac{e^2}{3}\)

D. \(\frac{e^2}{6}\)

Answer 1

Nhìn 2 vế của hàm số thì có vẻ ta cần phân tích biểu thức vế trái về dạng \(\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'=f\left(x\right).u'\left(x\right)+u\left(x\right).f'\left(x\right)\), ta cần tìm thằng \(u\left(x\right)\) này

Biến đổi 1 chút xíu: \(\frac{\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'}{u\left(x\right)}=\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}f\left(x\right)+f'\left(x\right)\) (1) hay vào bài toán:

\(\left(\frac{x+2}{x+1}\right)f\left(x\right)+f'\left(x\right)=\frac{e^x}{x+1}\) (2)

Nhìn (1) và (2) thì rõ ràng ta thấy \(\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(ln\left(u\left(x\right)\right)=\int\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx=x+ln\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow u\left(x\right)=e^{x+ln\left(x+1\right)}=e^x.e^{ln\left(x+1\right)}=e^x.\left(x+1\right)\)

Vậy ta đã tìm xong hàm \(u\left(x\right)\)

Vế trái bây giờ cần biến đổi về dạng:

\(\left[f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)\right]'=e^x\left(x+2\right).f\left(x\right)+f'\left(x\right).e^x\left(x+1\right).f'\left(x\right)\)

Để tạo thành điều này, ta cần nhân \(e^x\) vào 2 vế của biểu thức ban đầu:

\(e^x\left(x+2\right)f\left(x\right)+e^x\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^{2x}\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).e^x.\left(x+1\right)\right]'=e^{2x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)

Do \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(0\right).e^0=\frac{1}{2}e^0+C\Rightarrow C=0\)

Vậy \(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{e^x\left(x+1\right)}=\frac{e^x}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{e^2}{2\left(2+1\right)}=\frac{e^2}{6}\)