Câu 1: Cho \(\lim\limits_{x\rightarrow e}\frac{\log_2\left(\ln\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{\ln\left(2\right)e}\). Biết \(\ln\left(f\left(0\right)\right)=1\) và \(\int\limits^{5e}_{-e}f\left(2x\right)dx=18e^2\). Tính \(\frac{\ln\left(f\left(1+e\right)\right)}{f\left(1+e\right)^{10}}\) bằng:
a) 0
b) \(\frac{\ln\left(1+e\right)}{\left(1+e\right)^{10}}\)
c) \(1\)
d) \(\frac{\ln\left(1+2e\right)}{\left(1+2e\right)^{10}}\)
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số \(\int\frac{3\sqrt{ln\left(x\right)+1}}{x}dx\) có dạng \(ln\left(\left(xe\right)^a\right).\sqrt{ln\left(xe\right)+b}\) với \(a,b\) là các số thực. Tính \(a^2+b^2\)
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
Câu 2: Cho hai số thực \(a,b\) \(\left(a< b\right)\) thoả mản \(\int\limits^b_a\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\) và \(a^2+b^2=17\). Tính \(a^b+b^{-a}\)
a) \(\frac{2}{3}\)
b) \(1\)
c) \(0\)
d) \(\frac{5}{4}\)
Câu 3: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định trên \(R\). Và thoả mản \(f\left(\sqrt{2x}\right)=f’\left(x\right)\) và \(\int\limits^e_1f\left(\sqrt{ln\left(x\right)}\right)dx=3\) . Tính \(\int\limits^{\pi}_02.f\left(cos\left(2x\right)\right)dx\) bằng
a) \(0\)
b) \(2\pi\)
c) \(3\pi\)
d) \(9,425\)
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số \(\int\frac{3x+a}{x^2+4}dx\) có dạng \(\frac{3}{2}ln\left(x^2+4\right)+arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C,C\in R\). Tính \(\int\limits^{\frac{e}{a+2}}_1ln\left(x\right)dx\) bằng
a) 1
b) \(-\frac{ln\left(2^e\right)}{2}+1\)
c) \(1-\frac{ln\left(3^e\right)}{3}\)
d) Đáp án khác
Câu 5: Gọi \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\). Biết \(f”\left(x\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}},f’\left(2\right)=2+\frac{1}{2\sqrt{2}}\), \(f\left(4\right)=10\) và \(F\left(1\right)=1+\frac{2}{3}\). Tính \(\int\limits^1_0F\left(x\right)dx\) bằng
a) \(\frac{5}{3}\)
b) \(\frac{3}{4}\)
c) \(\frac{3}{5}\)
d) \(\frac{4}{3}\)
Câu 1: Gọi nguyên hàm của hàm số \(\int\frac{sin\left(x\right)}{sin\left(x\right)+cos\left(x\right)}dx\) có dạng \(ax+bln\left|sin\left(x\right)+cos\left(x\right)\right|+C\) (a,b là các số hữu tỉ) và nguyên hàm của hàm số \(\int cos^2\left(x\right)dx\) có dạng \(cx+\frac{1}{2d}sin\left(dx\right)+C\) ( c,d là các số hữu tỉ) . Khi này tính \(I=2a-2b+2c+d\) bằng
a) 4
b) 5
c) \(\frac{3}{2}\)
d) \(\frac{25}{4}\)
Câu 2. Cho hàm số \(f\left(x\right)=sin\left(ln\left(x\right)\right)\) và \(g\left(x\right)=cos\left(ln\left(x\right)\right)\)
a) Tích nguyên hàm của \(\int\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\)
b) Biết \(\int\limits^{e^{\pi}}_1f\left(x\right)dx=\frac{1}{a}\left(e^b+c\right)\) . Tính \(\left(a-c\right)^2\cdot b\)
Câu 3: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) thoả mản điều kiện \(f\left(2020x+2019\right)=2020f\left(x\right),\forall x\in R.\) Tính tích phân \(\int\limits^1_03\left[f\left(x\right)\right]^2dx\) bằng
a) \(\frac{7}{3}\left[f\left(1\right)\right]^2\)
b) \(\frac{3}{7}\left(f\left(1\right)\right)^2\)
c) \(7\left[f\left(-1\right)\right]^2\)
d\(\frac{3}{7}\left[f\left(-1\right)\right]^2\)
Tính các tích phân:
a) \(\int\limits^1_0\)\(\dfrac{xe^x+1+x}{e^x+1}\)dx
b)\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\)\(\dfrac{1-\sin\left(x\right)}{1+\cos\left(x\right)}\)dx
c)\(\int\limits^2_1\)\(\dfrac{\left(x-1\right)ln\left(x\right)}{x^2}\)dx
d)\(\int\limits^e_1\)ln( x + 1)dx
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên R thỏa: \(\left(x+2\right)f\left(x\right)+\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^x\) và \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\). Tính \(f\left(2\right)\).
A. \(\frac{e}{3}\)
B. \(\frac{e}{6}\)
C. \(\frac{e^2}{3}\)
D. \(\frac{e^2}{6}\)
Tính tích phân :
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{3}}\frac{\ln\left(4\tan x\right)}{\sin2x.\ln\left(2\tan x\right)}dx\)
Tính tích phân sau :
\(I=\int\limits^5_1\left(\frac{x}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\ln x}{\left(x+1\right)^2}\right)dx\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên tập xác định và thoả mản \(\int\limits^{\frac{\pi}{8}}_0f\left(2x\right)dx=\frac{1}{2\sqrt{2}}\) và \(f\left(x\right)^2+f’\left(x\right)^2=1\). Khi này tính \(f\left(f\left(\frac{\pi}{2}\right).\pi\right)\) bằng:
a) 0
b) -1
c) 1
d) 2
Câu 41: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên R và thoả mãn \(f\left(0\right)=0\) và \(f\left(x\right)f’\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\left(x^2+1\right)=2x^4+4x^3+4x^2+8x\). Tính \(\int\limits^3_0f\left(x\right)dx\)
a) 0 b) 18 c) \(\frac{117}{4}\) d) 15
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(\int\cos\left(x\right)^{\sin\left(x\right)}dx\)
b) \(\int\frac{\sqrt{x}}{4-x^2}dx\)
c) \(\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}dx\)
d) \(\int\ln\left(\ln\left(x\right)\right)dx\)