Question

Cho f(x) là đa thức thỏa mãn: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-1}{x^2+x-2}=1\). Nếu m là số thực thỏa mãn đẳng thức \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left[f\left(x\right)-m^2\right].\left[2f\left(x\right)+2m+1\right]}{x^2-3x+2}=\dfrac{15}{2}\), thì m bằng bao nhiêu?

Answer 1

Chọn \(f\left(x\right)=3x-2\)

Giới hạn đã cho hữu hạn khi \(\left[{}\begin{matrix}3x-2-m^2=0\\2.\left(3x-2\right)+2m+1=0\end{matrix}\right.\) có nghiệm \(x=1\)

TH1: \(3x-2-m^2=0\) có nghiệm \(x=1\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

Với \(m=1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-3\right)\left(6x-1\right)}{x^2-3x+2}=-15\left(ktm\right)\)

Với \(m=-1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-3\right)\left(6x-5\right)}{x^2-3x+2}=-3\left(ktm\right)\)

TH2: \(2\left(3x-2\right)+2m+1=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-2-\dfrac{9}{4}\right)\left(6x-6\right)}{x^2-3x+2}=\dfrac{15}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=-\dfrac{3}{2}\)