Violympic toán 9

HT

      Cho đường tròn(O;R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B.Từ một điểm M trên (d)(M nằm ngoài đường tròn (O) và A nằm giữa B và M),vẽ hai tiếp tuyến MC,MD của đường tròn (O)(C, D ∈ (O)).Gọi I là trung điểm của AB, tia IO cắt MD tại K

a)Chứng minh 5 điểm:M, C, I, O, D cùng thuộc 1 đường tròn

b)Chứng minh:KD.KM=KO.KI

c)Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC,MD lần lượt tại E,F.Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng (d) sao cho diện tích △MEF đạt giá trị nhỏ nhất.

 

DH
5 tháng 2 2021 lúc 19:59

O I B A M C D E F K (d)

a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây AB

=> OI ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

=> ΔMIO vuông tại I => I, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

ΔMCO vuông tại C => C, M, O cùng thuộc đương tròn đường kính OM

ΔMDO vuông tại D => D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=> I, M, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Xét ΔKOD và ΔKMI có: \(\widehat{KDO}=\widehat{KIM}\) (=90o)

                                           \(\widehat{OKM}\) chung

=> ΔKOD ~ ΔKMI (g.g) => \(\dfrac{KO}{KM}=\dfrac{KD}{KI}\) => KO.KI = KD.KM

c) Xét đường tròn (O; R), tiếp tuyến MC, MD => MO là phân giác \(\widehat{CMD}\); MD = MC

Lại có OC = OD = R => OM là trung trực của CD hay OM ⊥ CD.

Mà CD // EF => OM ⊥ EF. Lại có MO là phân giác \(\widehat{CMD}\) 

=> \(\widehat{CMO}=\widehat{DMO}\) => ΔEMO = ΔFMO (g.c.g)

=> SEMO = SFMO =\(\dfrac{1}{2}\)SEMF

Để SEMF nhỏ nhất thì SEMO nhỏ nhất

=> \(\dfrac{1}{2}\)EM.OC = \(\dfrac{1}{2}\).R.EM nhỏ nhất => EM nhỏ nhất (do R cố định)

Ta có: EM = EC + CM ≥ 2\(\sqrt{EC.CM}\)=2R (BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra ⇔ EC = CM => OC = CE = CM (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) => ΔCMO vuông cân tại C => OM = OC\(\sqrt{2}\) =R\(\sqrt{2}\)

Vậy để SEMF nhỏ nhất thì M là giao điểm của (d) và (O; R\(\sqrt{2}\))

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
H24
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
VA
Xem chi tiết
KG
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
NS
Xem chi tiết
JY
Xem chi tiết
QT
Xem chi tiết