Cho đường tròng tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn, Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB (M khác A và M khác B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ điểm M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q.
a, Chứng minh điểm A, M, H, Q nằm trên 1 đường tròn, Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ
b, Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB tại P. Chứng minh góc AMQ = góc PMB
c, Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng
d, Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất
Làm câu d:
Ta có \(S_{\Delta MAN}=\frac{1}{2}MQ.AN\Rightarrow MQ.AN=2S_{MAN}\)
\(S_{\Delta MBN}=\frac{1}{2}MP.BN\Rightarrow MP.BN=2S_{MBN}\)
\(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN=2\left(S_{MAN}+S_{MBN}\right)=2.S_{AMBN}\)
Mà tứ giác AMBN là tứ giác có 2 đường chéo AB, MN vuông góc nên theo công thức diện tích ta có: \(S_{AMBN}=\frac{1}{2}AB.MN\)
\(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN=AB.MN\)
Do AB cố định \(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN\) đạt max khi MN đạt max
Mà MN là dây cung \(\Rightarrow MN\le\) đường kính \(\Rightarrow MN_{max}\) khi MN là 1 đường kính hay MN đi qua O hay MN đi qua trung điểm AB \(\Rightarrow M\) nằm chính giữa cung AB
khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.