Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM > 2R. Từ
điểm M vẽ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE
của đường tròn (O) (tia ME nằm giữa hai tia MO và MA; D nằm giữa M và E). Gọi
I là trung điểm của DE. a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp. Từ đó suy ra năm
điểm A, M, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Vẽ đường kính AS của đường
tròn (O), các tia SD và SE cắt tia MO lần lượt tại K và N. Chứng minh: MO //
BS và DE.NS = BD.NK. c) Chứng minh: tứ giác AKSN là hình bình hành
a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO(1)
Ta có: ΔODE cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)DE
=>ΔOIM vuông tại I
=>I nằm trên đường tròn đường tròn đường kính OM(2)
Từ (1),(2) suy ra O,I,A,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(3)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(4)
Từ (3) và (4) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
Xét (O) có
ΔABS nội tiếp
AS là đường kính
Do đó: ΔABS vuông tại B
=>AB\(\perp\)BS
mà OM\(\perp\)AB
nên OM//BS