Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn ( M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d qua A cắt đường
tròn (O;R) tại B và C ( AB<AC ). Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng qua B , song song với AM cắt MN tại E .
a) Chứng minh 5 điểm A , M , O, I , N thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AB.AC=\(AM^2\)
c) Chứng minh IE // MC .
d) Chứng minh rằng khi đường thẳng d quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường tròn cố định.
a/ Xét tứ giác \(AMON\) có :
\(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^0\)
Mà \(\widehat{AMO};\widehat{ANO}\) là 2 góc đối diện
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp
\(\Leftrightarrow\) 4 điểm A, M, O, N cùng thuộc 1 đường tròn \(\left(1\right)\)
Xét (O, R) có :
I là trung điểm của dây cung BC
\(\Leftrightarrow OI\perp BC\)
Xét tam giác OIA có : \(\widehat{OIA}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\) 3 điểm O, I, A cùng thuộc 1 đường tròn \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\) 5 điểm \(A,M,O,I,N\) cùng thuộc 1 đường tròn
b/ Ta có :
\(\widehat{BMA}=\widehat{MCA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét \(\Delta MBA;\Delta CMA\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAM}chung\\\widehat{BMA}=\widehat{MCA}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\Delta MBA\infty\Delta CMA\left(\left(g.g\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AM^2\left(đpcm\right)\)
c/ Ta có :
\(BE\backslash\backslash AM\)
\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}=\widehat{EBI}\)
Lại có : \(\widehat{MAB}=\widehat{MNB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{MNB}=\widehat{EBI}\)
\(\Leftrightarrow MNIE\) là tứ giác nội tiếp
\(\Leftrightarrow\widehat{EIB}=\widehat{ENB}\)
Mà \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{EIB}=\widehat{MCB}\)
Mà đây là 2 góc đồng vị
\(\Leftrightarrow IE\backslash\backslash MC\left(đpcm\right)\)
