Xét đường tròn (O) có:
\(\widehat{MCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và \(\widehat{MFC}\) nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CE
\(\Rightarrow\widehat{MCE}=\widehat{MFC}\) ( Trong 1 đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau)
\(\widehat{MCA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và \(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CA
\(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\) ( Trong 1 đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau)
Xét \(\Delta MCE\) và \(\Delta MFC\) có:
\(\widehat{M}\) là góc chung
\(\widehat{MCE}=\widehat{MFC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MCE~\Delta MFC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MC}\)
\(\Rightarrow ME.MF=MC^2\left(1\right)\)
Xét \(\Delta MCA\) và \(\Delta MBC\) có:
\(\widehat{M}\) là góc chung
\(\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MCA~\Delta MBC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\)
\(\Rightarrow MA.MB=MC^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MA.MB=ME.MF\)