Câu hỏi của Nguyễn Thanh Thảo

Question

Cho đường tròn (O), đường kính AB và dây CD cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm H của OA. Đường tròn đường kính OH cắt CD tại I. Vẽ BE vuông góc CD và AI cắt BE tại F. a) Cm ADFC là hbh b) vẽ AG vuông gó...

Ngô Kim Tuyền · Accepted Answer

A C D B F E G   I H O H'

a) Nối 2 điểm O và I

Vì 3 điểm H, O, I  cùng nằm trên đường tròn có đường kính OH

$\Rightarrow$ $\Delta HIO$ nội tiếp đường tròn đường kính OH (1)

Mà OH là cạnh của $\Delta HIO$ đồng thời cũng là đường kính (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow\Delta HIO$ vuông tại I

$\Rightarrow OI\perp HI$

$\Rightarrow OI$ cũng vuông góc với dây CD (3)

$\Rightarrow IC=ID\left(4\right)$

Ta lại có: BE $\perp CD\left(gt\right)\left(5\right)$

Từ (3), (5) $\Rightarrow OI$// BE

$\Rightarrow OI$// BF (6)

Mà OA = OB = R (gt) (7)

Từ (6), (7) $\Rightarrow IA=IF\left(8\right)$

Từ (4), (8) $\Rightarrow ADFC$ là hình bình hành (9)

b) Từ (9) $\Rightarrow FC=AD\left(10\right)$

Và FC // AD

$\Rightarrow$ $\widehat{ICF}=\widehat{IDA}$ (2 góc so le trong) (11)

Từ (10), (11) $\Rightarrow\Delta EFC=\Delta GAD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow CE=DG$ (2 cạnh tương ứng)

c) Nối 2 điểm F và H'

Ta có: HA = HO (gt) (12)

Từ (8), (12) $\Rightarrow HI$ là  đường trung bình của $\Delta OAF$

$\Rightarrow HI$// OF

$\Rightarrow CD$// OF (13)

Từ (5), (13) $\Rightarrow BE\perp OF$

$\Rightarrow\Delta OBF$ vuông tại F (14)

Mà HO = H'O (gt) (15)

Từ (12) $\Rightarrow HA=HO=\dfrac{1}{2}OA\left(16\right)$

Từ (15), (16) $\Rightarrow H'O=\dfrac{1}{2}OA\left(17\right)$

Từ (7), (17) $\Rightarrow H'O=\dfrac{1}{2}OB\left(18\right)$

Mà H'O + H'B = OB

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}OB+H'B=OB$

$\Leftrightarrow H'B=OB-\dfrac{1}{2}OB$

$\Leftrightarrow H'B=\dfrac{1}{2}OB$ (19)

Từ (18), (19) $\Rightarrow H'O=H'B$ (20)

Từ (14) $\Rightarrow OB$ là cạnh huyền

Từ (20) $\Rightarrow$ H' là trung điểm cạnh huyền OB của tam giác vuông OBF

$\Rightarrow H'$là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBFCâu trả lời: A C D B F E G   I H O H'